17.1.2 Absolute Helligkeiten und Entfernungsmodul

Informieren Sie sich zunächst in Aufgabe Nr. 8 über scheinbare Helligkeiten und Farbenindizes.

Denken wir uns in guter Näherung zunächst den interstellaren Raum als frei von jeglicher Materie, so daß dort keine Strahlung erzeugt oder vernichtet wird und betrachten die Strahlung eines Sterns im Abstand $r_1$ und $r_2 = 2\cdot r_1$ (siehe Abb. 1). Seien weiter $S_1(\lambda)$ und $S_2(\lambda)$ die in den beiden Entfernungen beobachteten Strahlungsströme ${\rm [J\,s^{-1}m^{-2}nm^{-1}]}$, so muß gelten:

$$4\pi\,r_1^2 \int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_2} S_1(\lambd... ...mits_{\lambda_1}^{\lambda_2} S_2(\lambda) {\rm d}\lambda \, .$$ (1)

Der Gesamtstrahlungsstrom durch die Kugeloberflächen mit den Radien $r_1$ und $r_2$ muß unter den von uns genannten Bedingungen gleich sein. Während die Gesamtstrahlung unabhängig von der Entfernung ist, nimmt der beobachtete Strahlungsstrom mit dem Quadrat der Entfernung ab. Dieser Effekt wird geometrische Verdünnung der Strahlung genannt. Die Astronomen definierten deshalb neben der scheinbaren Helligkeit die absolute Helligkeit eines Sterns als entfernungsunabhängige Größe. Die absolute Helligkeit $M$ eines Sterns ist gleich der scheinbaren Helligkeit $m$ des Sterns, wenn sich dieser in einer Entfernung von 10 pc befinden würde. Für die $V$-Helligkeit des $UBV$-Systems könnten wir mit dieser Definition jetzt schreiben:

$$m_V(r) - m_V(10) = -2,5\log \left( \frac{S(r)}{S(10)} \right)$$

$$= -2,5\log \left(\frac{10^2}{r^2}\right)$$

$$m_V - M_V = 5 \log r - 5 \, .$$ (2)

Die Differenz $m_V - M_V$ ist der Entfernungsmodul und $r$ die Entfernung des Sterns in Parsek. Die absolute Helligkeit eines Sterns kann z.B. durch eine Spektralklassifikation des Sterns bestimmt werden. In verschiedenen photometrischen Systemen kann man Spektraltyp und absolute Helligkeit auch aus der Lage des Sterns in einem Zwei-Farben-Diagramm ableiten. Wie auch die scheinbare Helligkeit ist die absolute Helligkeit ein Maß für den Strahlungsstrom in einem definierten Wellenlängenbereich. Betrachtet man dagegen den Strahlungsstrom über den gesamten Wellenlängenbereich, in dem ein Stern strahlt, gelangt man zur bolometrischen Helligkeit. Der Wert der Gesamtstrahlung ist dann gleich der Leuchtkraft $L\,{\rm [J\,s^{-1}]}$ des Sterns. Es gilt:

$$L = 4\pi\,r_1^2 \cdot \int \limits_{0}^{\infty} S_1(\lambda) {\rm d}\lambda$$

$${\rm und}$$

$$m_{\rm bol} = -2.5 \log \int \limits_{0}^{\infty} S_1(\lambda) {\rm d}\lambda + C$$

$$0 = -2.5 \log \left( \frac {L}{4\pi\,r_1^2 } \right) + C \, .$$ (3)

Die absolute bolometrische Helligkeit $m_{bol} = 0$ entspricht der Leuchtkraft $L_0 = 3 \cdot 10^{28}$ W. Kennt man die Energieverteilung im Sternspektrum, kann man leicht die Helligkeiten eines bestimmten Farbsystems in bolometrische Helligkeiten umrechnen (siehe auch [5]). Die Differenz zwischen der $V$-Helligkeit und der bolometrischen Helligkeit wird bolometrische Korrektion genannt:

$$B.C. = m_{bol} - V \, .$$ (4)

Normalerweise wird die bolometrische Korrektion für Sterne, die ihr Strahlungsmaximum im visuellen Bereich haben, gleich Null gesetzt. (Für einen schwarzen Strahler nimmt die bolometrische Korrektion bei einer Temperatur von $T = 6625\,{\rm K}$ einen Minimalwert an.) Die obige Konvention hat zur Folge, daß die Korrektur für alle Sterne negativ ist.