18.4 Lineare Ausgleichung von Beobachtungen

Zwischen den Beobachtungsgrößen $x$ und $y$ bestehe ein bekannter (oder vermuteter) linearer Zusammenhang

$$y \ = \ ax + b ,$$ (29)

wobei aber die Größe der Koeffizienten $a$ und $b$ unbekannt sei. Bekannt sind auf Grund von Beobachtungen nur jeweils die Wertepaare $Q_{\rm i} (x_{\rm i}, y_{\rm i} ) \ ({\rm i} = 1, 2, \dots , {n})$. Trägt man sie in ein rechtwinkliges $x-y$-Koordinatensystem ein, so werden sie mehr oder minder stark um eine Gerade herum streuen. Es sollen nun diejenigen Koeffizienten $a_0$ und $b_0$ bestimmt werden, die den linearen Zusammenhang (29) am besten widerspiegeln. Diese Koeffizienten beschreiben dann die sogenannte ausgleichende Gerade. Es sei vorausgesetzt, daß die $x_{\rm i}$ genau bekannt sind, während die $y_{\rm i}$ mit Fehlern behaftet sind. (Im umgekehrten Fall nimmt man einfach eine Vertauschung der Bezeichnung $x$ und $y$ vor.) Setzt man das Wertepaar $Q_{\rm i}(x_{\rm i}, y_{\rm i})$ in die Geradengleichung

$$y - a_0 x - b_0 = 0$$ (30)

ein, so wird sie im allgemeinen nicht erfüllt sein, vielmehr erhält man

$$y_{\rm i} - a_{0}x_{\rm i} - b_0 = v_{\rm i} ,$$

wobei man die $v_{\rm i}$ als die scheinbaren Fehler bezeichnet.