Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten
Ergebnisses ist nach P.S. LAPLACE (1749-1827) definiert als die Anzahl
der für dieses Ereignis günstigen Fälle dividiert durch die Anzahl
der möglichen Fälle:
(1)
Ist das Ereignis unmöglich, so gilt = 0,
ist es sicher, so ergibt sich = 1.
Eine diskrete Zufallsgröße liegt vor, wenn im Intervall
nur endlich viele (oder abzählbar unendlich viele)
Ereignisse möglich sind. Kann hingegen jeder beliebige Wert
aus dem genannten Intervall auftreten, so liegt eine kontinuierliche
Zufallsgröße vor. Eine diskrete Zufallsgröße ist dann bekannt, wenn man
sämtliche mögliche -Werte mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
kennt. Da eine kontinuierliche Zufallsgröße innerhalb eines
Intervalls jeden Wert annahmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten eines ganz bestimmten Wertes nach Definition (1) gleich
Null; es gibt ja nicht abzählbare unendlich viele Möglichkeiten. Man kann
jedoch eine Wahrscheinlichkeit d dafür angeben, daß das Ereignis
zwischen den Werten und +d liegt:
Da ein Ereignis sicher in das Intervall
fällt, gilt
(2)
Den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße erhält man, indem man
jeden möglichen Wert mit der Wahrscheinlichkeit
multipliziert und alle diese Produkte aufsummiert:
(3)
Der Erwartungswert ist mithin das gewichtete Mittel aller , wobei die
Wahrscheinlichkeiten als Gewichte fungieren. Den Erwartungswert einer
kontinuierlichen Zufallsgröße definiert man in Analogie zu (3) durch
(4)
Zur Charakterisierung der zu erwartenden Streuung der Ereignisse um den
Erwartungswert wird die sogenannte Standardabweichung
eingeführt. Für diskrete Zufallsgrößen ist sie durch
(5)
definiert, bei kontinuierlichen Zufallsgrößen durch
(6)
wird auch mittleres Streuungsquadrat der Größe
bzw. genannt.
Die GAUSS-Verteilung oder auch Normalverteilung
(7)
Tabelle 1: Wahrscheinlichkeiten dafür, daß ein Zufallsereignis
innerhalb vorgegebener Intervallgrenzen liegt.
68,3%
95,0%
95,4%
99,0%
99,7%
(nach C. F. GAUSS, 1777-1855) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein
Zufallsereignis eintritt, das um den Betrag bis + d vom
Erwartungswert abweicht. Die Wahrscheinlichkeit
, daß das
Zufallsereignis innerhalb des Intervalls
liegt,
ergibt sich dann zu
(8)
Für verschiedene Werte von gibt die Tabelle 1 die entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten
.
Abb. 1. zeigt die GAUSS-Verteilung. Die von und der Abszissenachse
eingeschlossene Fläche ist für alle
nach (2) gleich 1;
durch die
Größe von
wird aber die Form der Kurve bestimmt. Immer
liegen
die Wendepunkte der Glockenkurve bei den Abszissenwerten von
.
Kleine Standardabweichungen ergeben mithin schmale, hohe GAUSS-Verteilungen,
große Standardabweichungen hingegen niedrige, flache Kurven.