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18.5 Systematische Fehler, Größtfehler

Zur Beobachtungssicherheit tragen die zufälligen, aber auch die nicht meßbaren systematischen Fehler bei. Sie können ihre Ursache z.B. in unbekannten systematischen Fehlern der Beobachtungsgeräte oder in unvermeidbaren Störeinflüssen der Umgebung haben. Vielleicht läßt sich die Größe derartiger Fehler aber abschätzen. Bezeichnet man einen derartigen systematischen Fehler der Beobachtungsgröße $x$ mit $\Delta x$, so setzt sich die Unsicherheit $u$ des Beobachtungsergebnisses, also die des entsprechenden arithmetischen Mittels, additiv aus der Standardabweichung $s_{\bar{\rm x}}$ des arithmetischen Mittels und dem Betrag des systematischen Fehlers zusammen:

\begin{displaymath}
u \ = \ s_{\bar{\rm x}} \ + \ \vert\Delta x\vert .
\end{displaymath}

Systematische Fehler können einseitig wirken, so daß auch Fehlerangaben der Art $\Delta x > 0$ oder $\Delta x < 0$ möglich sind. Gilt $\vert\Delta x\vert
\ll s_{\bar{\rm x}}$, so wird die Unsicherheit der Beobachtungsergebnisse allein durch die zufälligen Fehler bestimmt, und es gilt $u \approx s_{\bar{x}}$. Ist hingegen $\vert\Delta x\vert \gg s_{\bar{\rm x}}$, so kann auf die Berechnung der Standardabweichung verzichtet werden. Die Beobachtungsunsicherheit ist dann allein durch den systematischen Fehler bedingt. Liegen darüber hinaus auch nur wenige Beobachtungen der Größe $x$ vor, so schätzt man vielfach zufällige und systematische Fehler gemeinsam ab und bezeichnet das Ergebnis als Größtfehler der Beobachtung. Bei indirekten Beobachtungen wirken sich die systematischen Fehler $x_{j}$ der Beobachtungsgrößen $x_{\rm j} \ ({\rm j} = 1, 2, \dots {\rm l})$ auf die Unsicherheit $\Delta z$ der gesuchten Größe $z = f(x_1, x_2, \dots x_{\rm l})$ aus. $\Delta z$ gewinnt man dadurch, daß man $f(x_1, x_2, \dots ,x_{\rm l})$ in eine Taylor-Reihe entwickelt und nach den linearen Gliedern abbricht

\begin{displaymath}
\Delta z \ = \ f_{\rm x_1}(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \dots , \b...
...r{x}_1, \bar{x}_2, \dots, \bar{x}_{\rm l})
\Delta x_{\rm l}.
\end{displaymath}

In diesem Ausdruck können sich die einzelnen Summanden, also die systematischen Fehler einzelner Beobachtungsgrößen, teilweise kompensieren, wenn sie nämlich unterschiedliche Vorzeichen haben. Man verschärft aus diesem Grund die Abschätzung von $\Delta z$ vielfach dadurch, daß man durch die Summation der Beträge jegliche Kompensation ausschließt:

\begin{displaymath}
\vert\Delta z\vert = \vert f_{\rm x_1}(\bar{x}_1, \bar{x}_2...
..._1, \bar{x}_2, \dots \bar{x}_{\rm l}) \Delta x_{\rm l}\vert .
\end{displaymath}

Ein nicht ganz so scharfer oberer Grenzwert von $\Delta z$ ergibt sich, wenn man $\Delta z$ nach der Rechenvorschrift

\begin{displaymath}
\vert\Delta z\vert = \sqrt{(f_{\rm x_1}(\bar{x}_1, \bar{x}_...
...}_1, \bar{x}_2, \dots, \bar{x}_{\rm l})
\Delta x_{\rm l})^2}
\end{displaymath}

bestimmt.
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Juergen Weiprecht 2002-10-29