1.2.5 Transformationsbeziehungen zwischen astronomischen Koordinatensystemen

Eine in der astronomischen Arbeit häufig zu lösende Aufgabe betrifft die Koordinatentransformation zwischen den verschiedenen genannten sphärischen Koordinatensystemen. Zur Herleitung der Transformationsgleichungen lassen sich entweder Beziehungen der sphärischen Trigonometrie nutzen oder man verwendet Drehmatrizen, die zwischen zwei zueinander verdrehten kartesischen Koordinatensystemen vermitteln. Die letzte Variante soll im folgenden kurz vorgestellt werden. Als Voraussetzung wird ein rechtsorientiertes kartesisches Koordinatensystem $x, y, z$ eingeführt, dessen $x, y$-Ebene in der Grundebene des jeweiligen sphärischen Systems liegt, wobei die $x$-Achse zum Nullpunkt des in der Grundebene gemessenen Winkels zeigt. Die $z$-Achse ist zum Pol über der Grundebene gerichtet. Die Lage des Dreibeins $x, y, z$ in den verschiedenen astronomischen Koordinatensystemen ist in Abb. 3 dargestellt. Dabei wird gleichzeitig die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten gegeben, welche auf der Konvention beruht, daß die Winkelangaben im $x, y, z$-System mathematisch positiv (entgegen dem Uhrzeigersinn beim Blick entgegen der Richtung der positiven Drehachse) erfolgen.

Abb. 3: Lage des kartesischen Koordinatensystems x,y,z in Bezug auf die verschiedenen astronomischen Koordinatensysteme.

Die Herleitung der Transformationsgleichungen läuft in drei Schritten ab. Zunächst werden die gegebenen sphärischen Koordinaten in kartesische umgerechnet. Danach erfolgt die Drehung des kartesischen Dreibeins in die Lage, die dem sphärischen System mit den gesuchten Koordinaten entspricht (die Position des Ursprungs bleibt unverändert). Die Koordinatentransformation wird durch eine Drehmatrix beschrieben. Abschließend werden die "`neuen"' kartesischen Koordinaten in die gesuchten sphärischen Koordinaten umgerechnet. Die Koordinaten von beliebig zueinander verdrehten Dreibeinen werden mittels einer $3 \times 3$-Drehmatrix ${\bf\hat D}$ transformiert, deren Elemente durch die 9 Richtungskosinus gebildet werden. Die im zweiten Schritt der Herleitung benötigten Drehmatrizen werden auf Grundlage spezieller Drehmatrizen ${\bf\hat D}_{\rm x}(\omega), {\bf\hat D}_{\rm y}(\omega), {\bf\hat D}_{\rm z}(\omega)$, die jeweils nur die Drehung um die eine indizierte Achse (Drehwinkel $\omega$) ausführen, durch Matrizenmultiplikation erzeugt (die Matrix mit der ersten Drehung steht dabei ganz rechts, siehe Abb. 4). Die Drehwinkel werden entsprechend der bereits genannten Konvention gemessen.

$$\mbox{Drehung um $x$-Achse:} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat {\bf D}_{\rm x}(\omega) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\omega & \sin\omega \\ 0 & -\sin\omega & \cos\omega \end{array} \right),$$

$$\mbox{Drehung um $y$-Achse:} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat {\bf D}_{\rm y}(\omega) = \left( \begin{array}{ccc} \cos\omega & 0 & -\sin\omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\omega & 0 & \cos\omega \end{array} \right),$$

$$\mbox{Drehung um $z$-Achse:} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat {\bf D}_{\rm z}(\omega) = \left( \begin{array}{ccc} \cos\omega & \sin\omega & 0 \\ -\sin\omega & \cos\omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$$

Die Anwendung der Drehmatrizen ist in Abb. 4 dargestellt. Nach Einsetzen der in Abb. 3 gegebenen Umrechnungsbeziehungen in die in Abb. 4 aufgelisteten Formeln ergeben sich z.B. für die Transformation der Koordinaten des ruhenden Äquatorsystems in diejenigen des astronomischen Horizontsystems die folgenden Transformationsbeziehungen:

$$\hspace*{15mm} \cos a \cos h = \sin \varphi \cos \tau \cos \delta - \cos \varphi \sin \delta,$$

$$\hspace*{15mm} \sin a \cos h = \sin \tau \cos \delta,$$

$$\hspace*{15mm} \sin h = \cos \varphi \cos \tau \cos \delta + \sin \varphi \sin \delta .$$

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Abb. 1: Zur Herleitung der Transformationsbeziehungen zwischen verschiedenen astronomischen Koordinatensystemen. $\epsilon = 23^\circ$ $27'$ - Neigungswinkel zwischen Äquator- und Ekliptikebene, $\varphi$ - geographische Breite.