13.1.1 Differentialgleichung und Bahnelemente

Die Bewegung zweier Massenpunkte um den gemeinsamen Schwerpunkt wird durch eine vektorielle Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben, die im Falle einer Bewegung um die Sonne lautet:

$${\bf\ddot{r}} = - {\frac{G \, S}{r^{3}}{\bf r}} \, .$$ (1)

Hierin sind $G$ die Gravitationskonstante und ${\bf r}$ der heliozentrische Ortsvektor des Objekts. Der Schwerpunkt des Systems ist im Sonnenmittelpunkt gedacht, und die Masse des Objekts wurde gegenüber der Sonnenmasse $S$ vernachlässigt. Die vollständige Integration dieser Gleichung liefert sechs unabhängige Konstanten, mit deren Hilfe es möglich ist, in einem beliebig gewählten räumlichen Koordinatensystem den Ort des einen Körpers bezüglich des anderen als Funktion der Zeit, also dessen Bahnkurve, zu berechnen. Da die Bahn in jedem Falle einen Kegelschnitt darstellt, sind in der Astronomie die folgenden sechs Größen (Bahnelemente) zur Beschreibung der Bahn eines Himmelskörpers üblich (vgl. Abb. 1):

1. Länge des aufsteigenden Knotens ($\Omega$): Sie ist der Winkel in der Ebene der Ekliptik zwischen der Richtung zum Frühlingspunkt und der Richtung zum aufsteigenden Knoten der Bahn.
2. Argument des Perihels ($\omega$): Das ist der Winkel in der Bahnebene zwischen der Richtung zum aufsteigenden Knoten und der Richtung zum Perihel (dem sonnennächsten Punkt der Bahn) und definiert die Lage der großen Halbachse.
3. Bahnneigung ($i$): Sie ist der Winkel zwischen der Bahnebene und der Ebene der Ekliptik, und bestimmt zusammen mit der Länge des aufsteigenden Knotens die Lage der Bahnebene im Raum.
4. Numerische Exzentrizität der Bahn ($e$) und
5. große Halbachse ($a$): Diese beiden Größen definieren die Form des Kegelschnitts. Bei Hyperbel- oder Parabelbahnen wird statt dessen der Halbparameter $p = a(1 - e^{2})$ oder die Periheldistanz $q$ = 1/2 $p$ benutzt.
6. Periheldurchgangszeit ($T$): Die Zeit, zu der der Himmelskörper durch das Perihel seiner Bahn läuft. Bei elliptischen Bahnen wird die mittlere Anomalie $M$ benutzt. Es gilt $M(t_0) = n(t_0-T)$. Dazu ist die Angabe der mittleren täglichen Bewegung $n$ und einer Epoche $t_0$ nötig.