14.2.1 Das spezielle Keplerproblem

Der Bewegungsablauf ist beim speziellen Zweikörperproblem mit dem Kraftgesetz $F \sim r^{-2}$ durch die Anfangsbedingungen vollständig festgelegt. Die Anfangsbedingungen sind im allgemeinsten Fall die Örter und Geschwindigkeiten beider Körper zum Zeitpunkt $t_0$. Da wir uns nur für die Relativbewegung des einen um den anderen Körper interessieren, können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit den einen Körper in den Ursprung eines neuen Koordinatensystems legen:

$${\bf F} = k^2 \cdot \frac{M_2(M_1 + M_2)}{r^2} \cdot \frac{{\bf r}}{r} \, .$$ (2)

$k = 0,01720209895$ ist die GAUSSsche Gravitationskonstante (siehe auch Aufgabe 13). In diesem Koordinatensystem mit dem Ursprung in $M_1$ sind die Anfangsbedingungen allein durch Ort und Geschwindigkeit des zweiten Körpers gegeben, der sich auf einer KEPLERbahn um den Zentralkörper bewegt. Der momentane Abstand ${r}$ und der Betrag der dazugehörigen Geschwindigkeit ${v}$ sind beim speziellen KEPLERproblem über den Energieerhaltungssatz

$${E} = \frac{1}{2} \cdot M_2 \cdot v^2 - k^2 \cdot \frac{M_2(M_1 + M_2)}{r}$$ (3)

miteinander verknüpft. Mit Hilfe des Drehimpulserhaltungssatzes erhält man durch einfache Umformungen (siehe auch [3]) die Geschwindigkeitsbeziehung:

$$v^2 = k^2 (M_1 + M_2) \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \, .$$ (4)

Die Gleichung ist für alle möglichen Bahnformen gültig wenn man vereinbart, daß die große Halbachse $a$ im Fall einer Hyperbelbahn als negativ anzusehen ist. Da mit der großen Halbachse die Bahnform eingeht, gibt es für einen bestimmten Kegelschnitt nur einen durch die Gleichung definierten Parameterbereich von $r$ und $v$ der die entsprechende Bahnform liefert. Gleichung (4) kann man also benutzen, um die Wertebereiche für die Anfangsbedingungen zu finden, die zu den verschiedenen möglichen Bahnformen im speziellen KEPLERproblem führen [4]. Man beachte, das die Geschwindigkeit des Körpers mit der Masse $M_2$ außer vom momentanen Abstand der beiden Massen nur von der großen Halbachse abhängt (siehe Abb. 1).

Im Computerprogramm ist als Zeiteinheit $1/k$ Tage gewählt worden. Die Masseneinheit ist die Sonnenmasse, die Entfernungseinheit die astronomische Einheitsentfernung A. Die Masse des Testkörpers wurde vernachlässigt, wodurch sich die obige Gleichung noch zu

$$v^2 = \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$ (5)

vereinfacht. Durch die Symmetrie des Problems ist es für eine Simulation völlig ausreichend, den Körper bei einer Position $x_0$ auf der $x$-Achse mit einer Geschwindigkeit $v_{y0}$ parallel zur $y$-Achse zu starten. Diese Größen werden auch von dem Simulationsprogramm als Eingabeparameter verlangt.