14.2.2 Das allgemeine Keplerproblem

Seit NEWTON sind viele Versuche unternommen worden, die Bewegung von Massenpunkten unter der Annahme verschiedener Kraftgesetze zu diskutieren. Schon NEWTON selbst hat dieses Problem in seinem grundlegenden Werk angeschnitten. Wie schon weiter oben erwähnt, umfaßt das allgemeine KEPLERproblem beliebige Zentralkräfte. Exakte Kugelsymmetrie ist jedoch keine Voraussetzung. Denkbar sind auch solche Varianten, bei denen die Anziehungskraft sowohl vom Radiusvektor als auch von der räumlichen Richtung abhängt. Im Fall einer ebenen Bewegung mit $r$ und $\varphi$ als Polarkoordinaten hätte das Kraftgesetz die Form $F = f(r,\varphi)$. Solche Fälle sind aber von rein mathematischem Interesse und für die Himmelsmechanik uninteressant. Von Bedeutung sind dagegen solche Problemstellungen, wo räumliche Bewegungen in einem kugelsymmetrischen Potential (Bewegungen in Kugelsternhaufen) oder in einem axialsymmetrischen Kraftfeld (Bewegungen in Galaxien oder z.B. die Bahn eines Satelliten im Schwerefeld eines abgeplatteten Planeten) stattfinden. Im letzten Fall sind die Potentialflächen ellipsoidförmig, und es handelt sich nicht mehr um Zentralkräfte, wenn auch die Abweichungen klein sind. Massenverteilungen und Potentialfunktionen für die Simulation der Bewegung von Sternen in unserer Galaxis findet man z.B. in [5]. Die Bewegung in einem kugelsymmetrischen Potential führt zu folgender einfacher Differentialgleichung:

$${\bf\ddot{r}} = -f(r) \cdot \frac{{\bf r}}{r} = \pm {\rm grad} P(r) \, ,$$ (6)

dabei ist $P$ die Potentialfunktion.