Die Bewegung in einem Kugelsternhaufen

Durch Sternzählungen in Kugelsternhaufen erhält man bei geeigneter Wahl der Einheiten und der Normierungsbedingung, daß die Sterndichte $S$ im Zentrum des Haufens gleich Eins ist:

$$S = \left( \frac{{1}}{1 + r^2} \right) ^{\frac{5}{2}} \, .$$ (7)

Jeder Einzelstern wird sich ständig unter dem Einfluß der Gesamtmasse der übrigen Sterne befinden. Die individuellen Anziehungskräfte werden nur dann eine Rolle spielen, wenn im Verlauf der Bewegung zwei Sterne einander sehr nahe kommen. Dieses Problem wollen wir hier vernachlässigen. Wir haben es hier also in erster Näherung nicht mit einem Störungsproblem [1], sondern mit einer andersartigen Zentralkraft zu tun.

Da die Massen von Hauptreihensternen nur etwa um den Faktor 30 verschieden sind und ein Kugelsternhaufen im Durchschnitt $10^5$ Sterne enthält, können wir für die Sternmasse mit einem mittleren Wert rechnen. Wenn die Sterne verschiedener Massen nicht unterschiedlich stark gegen das Zentrum des Haufens konzentriert sind, wird man dabei keinen wesentlichen Fehler machen. Wir können also in guter Näherung die Sterndichte $S$ gleich der Massendichte $\rho$ setzen. Auf unseren Probekörper mit der Masse $m$ wirkt die gesamte Masse $M$ innerhalb des Radius $R$, der kleiner als der Abstand $r$ des Probekörpers ist, so, als wäre diese Masse bei $r=0$ im Mittelpunkt des Haufens konzentriert. Die Wirkungen der Massen außerhalb von $R$ auf $m$ heben sich gegenseitig auf. Man erhält die Masse innerhalb von $r$ durch Integration über die Massendichte:

$$M = \int\limits^r_0 4\pi r^2 \rho {\rm d}r = 4\pi \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{r^3}{(1 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \, .$$ (8)

Die Kraft auf den Probekörper $m$ ergibt sich dann einfach zu:

$${\bf F} = \frac{k^2 m \cdot M}{r^2} = \frac{4}{3} \cdot \pi... ...ot \frac{k^2 m \cdot {\bf r}}{(1 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \, .$$ (9)

Die Differentialgleichungen für die Bewegung des Probekörpers im Kugelsternhaufen lauten:

$$\frac{{\rm d^2} x}{{\rm d} t^2} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{k^2 x}{(1 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \, ,$$

$$\frac{{\rm d^2} y}{{\rm d} t^2} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{k^2 y}{(1 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \, .$$ (10)

Jede dieser Gleichungen läßt sich in zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung zerlegen, die man dann z.B. mit einem Runge-Kutta-Verfahren integrieren kann (siehe Aufgabe 13 und [6]). Als Bahnform erhält man ellipsenähnliche Kurven mit sich drehender Apsidenlinie. Ein Beispiel ist in Abb. 2 dargestellt.