Zentralkräfte, die Potenzen des Abstandes proportional sind

Man kann die Fragestellung nach der Bewegung einer Masse in einem kugelsymmetrischen Potential auch beantworten, wenn man nur Zentralkräfte betrachtet, die wie beim NEWTONschen Kraftgesetz proportional zu Potenzen des Abstandes des Probekörpers vom Koordinatenursprung im Zentrum der Massenverteilung sind [7]. Kraftgesetz und Potential haben dann für ganzzahlige Potenzen $\alpha$ die allgemeine Form:

$${F(r)} \sim r^{\alpha} \ {\rm und} \ P(r) \sim r^{\alpha -1} \, .$$ (11)

Sieht man wie bei den obigen Betrachtungen von engen Begegnungen einzelner Sterne ab und betrachtet die Potentialfunktion als stetige Funktion des Abstands vom Zentrum des Gebiets, so bewegt sich unser Testkörper unter dem Einfluß einer Zentralkraft, die eine von der Massenverteilung der übrigen Sterne abhängige Funktion sein muß. Drei Spezialfälle lassen sich sofort angeben:

1. Im Zentrum des Haufens verschwindet die Zentralkraft.
2. In Gebieten nahe des Zentrums haben wir es mit annähernd konstanter Massendichte zu tun. Die Bewegung läuft nach dem Kraftgesetz $F \sim r$ ab.
3. An der Oberfläche des Kugelsternhaufens geht das Kraftgesetz in das NEWTONsche Gesetz $F \sim r^{-2}$ über.

Die eben gemachten Aussagen kann man ganz leicht für große und kleine Werte von $r$ aus den Gleichungen (7), (8) und (9) ableiten. Wir können die Bewegungsverhältnisse in einem Kugelsternhaufen also auch durch Variation des Exponenten von $r$ im NEWTONschen Gravitationsgesetz simulieren. Der Exponent $\alpha$ kann dabei im Bereich von $-2 \leq \alpha \leq 1$ liegen.