14.2.3 Das Simulationsprogramm

Das Programm NEWTON.EXE ist zur Simulation von Zentralkräften, die Potenzen des Abstandes proportional sind, geschrieben worden. Zur numerischen Integration wird ein Prediktor-Korrektor-Verfahren benutzt. Die verwendete Integrationsmethode ist im Detail in [8] beschrieben. Zur Ermittlung der Schrittweite wird die GAUSSsche Methode verwendet. Über die verschiedenen Integrationsmethoden in der Himmelsmechanik können Sie sich in [6] informieren. Integriert werden die Differentialgleichungen

$$\ddot{x} = F(x,t) \, ,$$

$$\ddot{y} = F(y,t) \,$$ (12)

für das ebene Problem. Zum Startpunkt wird die Zeit $t = 0$ gesetzt, und die Anfangswerte sind $x_0 \, , \, \dot{x}_0 = 0 \, , \, y_0 = 0 \, , \, \dot{y}_0 \, {\rm und} \, F_0$. Dann wird für die Berechnung der Stützstellen $\ddot{x}$ in eine Potenzreihe nach der Zeit entwickelt:

$$\ddot{x} = F_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 + \dots + A_nt^n \, .$$ (13)

Durch Integration dieser Reihe erhält man die Gleichungen für $x$ und $\dot{x}$. Die unbekannten Werte für die $A_i$ erhält man durch Integration nach der GAUSSschen Methode und anschließende Interpolation für die berechneten Stützstellen nach der STIRLINGschen Interpolationsformel. Die gleiche Prozedur wird für die y-Koordinate durchgeführt. Im vorliegenden Programm wird die Reihe bis zu $n = 6$ entwickelt.