18.3.4 Beobachtungen unterschiedlicher Genauigkeit

Haben die Beobachtungswerte $x_{\rm i}$ nicht alle die gleiche Genauigkeit, so ordnet man ihnen entsprechend der jeweiligen Genauigkeit unterschiedliche Gewichte $p_{\rm i}$ zu. Je höher die Genauigkeit ist, um so größer ist das Gewicht der Beobachtung. Die Wahrscheinlichkeit, mit der der Beobachtungswert $x_{\rm i}$ auftritt, ist dann nicht mehr $w(x_{\rm i}) = 1/n$, sondern

$$w (x_{\rm i}) \ = \ \frac{p_{\rm i}}{\sum\limits_{\rm i=1}^{n} \ p_{\rm i}} ,$$

und das arithmetische Mittel ergibt sich demzufolge zu

$$\bar{x} \ = \ \frac{\sum\limits_{\rm i=1}^n \ p_{\rm i} x_{\rm i}} {\sum\limits_{\rm i=1}^{n} \ p_{\rm i}} .$$

Die der Gleichung (12) entsprechende Extremalbedingung liefert

$$\sum_{\rm i=1}^{n} \ p_{\rm i} v_{\rm i} \ = \ 0 .$$

Die Standardabweichung der Einzelbeobachtungen bezieht man im allgemeinen auf eine Beobachtung des Gewichts $p = 1$, so daß man

$$s_{\rm x}^{2} (p=1) \ = \ \frac{1}{n-1} \ \sum\limits_{\rm i=1}^{n} \ p_{\rm i} (x_{\rm i} - \bar{x})^2$$

erhält. Schließlich benötigt man noch zur Berechnung der Vertrauensintervalle bei vorgegebener statistischer Sicherheit $P$ die Größe von $\tilde{\varepsilon}_{\bar{\rm x}}$. Sie berechnet sich zu

$$\tilde{\varepsilon}_{\bar{\rm x}} \ = \ t (P, n) \frac{1}{\... ...\rm i} - \bar{x})^2}{\sum\limits_{\rm i=1}^{n} p_{\rm i}}} .$$