18.4.1 Proportionalität von $x$ und $y$

Aus der astronomischen Problemstellung sei bekannt (oder ist zu erwarten), daß zwischen $x$ und $y$ eine reine Proportionalität besteht. Es muß dann auch die ausgleichende Gerade diese Bedingung erfüllen. Für sie muß also gelten

$$y \ = \ a_{0}'x .$$

Damit ergeben sich die scheinbaren Fehler zu

$$y_{\rm i} - a_{0}'x_{\rm i} \ = \ v_{\rm i} ,$$

und aus der GAUSSschen Bedingung folgt, daß $a_{0}'$ die Gleichung

$$\frac{d}{da_{0}'} \left( \sum_{\rm i=1}^{n} \ (y_{\rm i} - ... ...um_{\rm i=1}^n (y_{\rm i} - a_{0}'x_{\rm i})x_{\rm i} \ = \ 0$$

erfüllen muß. Aus ihr erhält man für den Proportionalitätsfaktor $a_{0}'$

$$a_{0}' \ = \ \frac{\sum\limits_{\rm i=1}^{n} x_{\rm i} y_{\rm i}} {\sum\limits_{\rm i=1}^{n} x_{\rm i}^{2}} .$$ (31)

Der so berechnete Wert von $a_{0}'$ wird mit dem wahren Proportionalitätsfaktor, der dem exakten physikalischen Zusammenhang von $x$ und $y$ entsprecht, nicht identisch sein. Man kann aber wieder ein Vertrauensintervall $a_{0}'\pm \tilde{\varepsilon}_{{\rm a}_{0}'}$ angeben, in dem der wahre Wert mit vorgegebener statistischer Sicherheit $P$ liegt. Zur Berechnung von $\tilde{\varepsilon}_{{\rm a}_{0}'}$ geht man in der gleichen Weise vor wie bei der Berechnung der Standardabweichung und des Vertrauensintervalls für das arithmetische Mittel. In Analogie zu (27) und (28) ergibt sich

$$\tilde{\varepsilon}_{{\rm a}_{0}'} \ = \ t(P, n) \sqrt{\sum... ...artial a_{0}'}{\partial y_{\rm j}} \right)^2 s_{\rm y}^{2}} .$$ (32)

Für die partiellen Ableitungen erhält man auf Grund von (31)

$$\frac{\partial a_{0}'}{\partial y_{\rm j}} \ = \ \frac{x_{\rm j}} {\sum\limits_{\rm i=1}^{n} x_{\rm i}}$$

und für die Standardabweichung $s_{\rm y}$ der $y$-Werte entsprechend (15)

$$s_{\rm y}^2 \ = \ \frac{1}{n-1} \sum\limits_{\rm i=1}^{\rm n} v_{\rm i}^2 .$$ (33)

Setzt man dies in (32) ein, so ergibt sich schließlich

$$\tilde{\varepsilon}_{\rm a_{0}'} \ = \ t(P, n) \sqrt{\sum\l... ...2} \frac{1}{(n-1)} \sum\limits_{\rm i=1}^{n} v_{\rm i}^2} .$$ (34)