18.3.2 Indirekt bestimmte Beobachtungsgrößen, Fehlerfortpflanzung

Vielfach läßt sich eine zu ermittelnde Größe nicht direkt bestimmen. Sie muß vielmehr indirekt aus einer Anzahl $m$ von unabhängig voneinander zu messenden Größen erschlossen werden. Der Einfachheit wegen sei zunächst angenommen, daß $m \ = \ 2$ sei, daß also die zu ermittelnde Größe $z$ von zwei unabhängigen Beobachtungsgrößen $x_1$ und $x_2$ abhängt:

$$z \ = \ f(x_1, x_2).$$ (16)

Für $x_1$ mögen $n_1$, für $x_2$ $n_2$ Beobachtungen vorliegen. Damit berechnen sich die Mittelwerte zu

$$\bar{x}_1 \ = \ \frac{1}{n_1} \ \sum_{\rm i=1}^{n_1} \ x_{\... ... \ = \ \frac{1}{n_2} \ \sum_{\rm k=1}^{\rm n_2} \ x_{\rm 2k}.$$ (17)

Mit den scheinbaren Fehlern

$$v_{\rm 1i} \ = \ x_{\rm 1i} - \bar{x}_1 \qquad v_{\rm 2k} \ = \ x_{\rm 2k} - \bar{x}_2$$ (18)

erhält man für die Standardabweichungen

$$s_{\rm x_1}^2 \ = \ \frac{1}{n_1 - 1} \ \sum_{\rm i=1}^{n_1... ... \ \frac{1}{n_2 - 1} \ \sum_{\rm k=1}^{n_2} \ v_{\rm 2k}^2 .$$ (19)

Setzt man die Werte $x_{\rm 1i}$ und $x_{\rm 2k}$ in (16) ein, so erhält man mit (18)

$$z_{\rm ik} \ = \ f(x_{\rm 1i}, x_{\rm 2k}) \ = \ f(\bar{x}_1 + v_{\rm 1i}, \ \bar{x}_2 + v_{\rm 2k}) .$$

Die Taylor-Reihenentwicklung, die man nach dem linearen Glied abbricht, ergibt

$$z_{\rm ik} \ = \ f(\bar{x}_1, \bar{x}_2) + v_{\rm 1i} \ f_{... ...ar{x}_2) + v_{\rm 2k} f_{\rm x_2} (\bar{x}_1, \ \bar{x}_2) .$$ (20)

Dabei bedeuten $f_{\rm x_1} (\bar{x}_1, \bar{x}_2)$ und $f_{\rm x_2}(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$ die partiellen Ableitungen von $f(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$ genommen für die Werte $x_1 = \bar{x}_1$ und $x_2 = \bar{x}_2$. Zur Ermittlung des arithmetischen Mittels $\bar{z}$ bestimmt man zunächst

$$z_{\rm i} = \frac{1}{n_2} \ \sum_{\rm k=1}^{n_2} \ z_{\rm ik}$$

und danach

$$\bar{z} = \frac{1}{n_1} \ \sum_{\rm i=1}^{n_1} z_{\rm i} \;... ... \ \sum_{\rm i=1}^{n_1} \ \sum_{\rm k=1}^{n_2} \ z_{\rm ik} .$$ (21)

Dies läßt sich mit (20) umschreiben in

$$\bar{z} = \frac{1}{n_1 n_2} \ \sum_{\rm i=1}^{n_1} \ \sum_... ..., \bar{x}_2) + v_{\rm 2k} f (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \right] ,$$

woraus sich

$$\bar{z} = f(\bar{x}_1, \bar{x}_2) + \frac{1}{n_1} \ \sum_{\... ...rm k=1}^{n_2} \ v_{\rm 2k} f_{\rm x_2}(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$$

und unter Beachtung von (13)

$$\bar{z} \ = \ f(\bar{x}_1, \ \bar{x}_2)$$ (22)

ergibt. Den gesuchten Mittelwert $\bar{z}$ von $z$ erhält man also einfach dadurch, daß man in $f(x_1, x_2)$ die Mittelwerte $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ einsetzt. Zur Berechnung der Standardabweichung $s_{\rm z}$ der $z_{\rm ik}$-Werte definiert man analog zu (10) scheinbare Fehler

$$v_{\rm ik} = z_{\rm ik} - \bar{z}.$$

Damit erhält man nach (15)

$$s_{\rm z}^{2} = \frac{1}{(n_1 - 1)(n_2 - 1)} \sum_{\rm i=1}^{n_1} \ \sum_{\rm k=1}^{n_2} \ (z_{\rm ik} - \bar{z})^2$$

und unter Beachtung von (20) und (22)

$$s_{\rm z}^{2} = \frac{1}{(n_1 - 1)(n_2 - 1)} \ \sum_{\rm i=... ... v_{\rm 2k} f_{\rm x_2} \ (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \right] ^2.$$

Nach der Ausmultiplikation ergibt sich, wenn man

$$f_{\rm x_1} \equiv f_{\rm x_1} (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \qqua... ...\equiv f_{\rm x_2} \ (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \ \ {\rm setzt},$$

$$s_{\rm z}^{2} = \frac{1}{(n_1 - 1)(n_2 -1)} \ \sum_{\rm i=1... ...m x_1} f_{\rm x_2} + v_{\rm 2k}^2 f_{\rm x_2}^2 \ \right] ,$$

woraus man

$$s_{\rm z}^{2} = \frac{1}{(n_1 - 1)(n_2 - 1)} \left[ n_2 \ ... ...um_{\rm k=1}^{n_2} \ v_{\rm 2k}^2 \ f_{\rm x_2}^2 \ \right]$$

erhält. Bei genügend großen $n_1$ und $n_2$ kann man $n_1/(n_1 - 1) \approx 1$ und $n_2/(n_2-1) \approx 1$ setzen, so daß sich unter Beachtung von (13)

$$s_{\rm z}^{2} = \frac{1}{n_1 - 1} \ \sum_{\rm i=1}^{n_1} \ ... ..._2 - 1} \ \sum_{\rm k=1}^{n_2} \ v_{\rm 2k}^2 \ f_{\rm x_2}^2$$

ergibt, was sich mit (19) endgültig in

$$s_{\rm z}^{2} = s_{\rm x_1}^2 \ f_{\rm x_1}^2 \ (\bar{x}_1,... ...2) + s_{\rm x_2}^2 \ f_{\rm x_2}^2 \ (\bar{x}_1, \bar{x}_2)$$ (23)

umschreiben läßt. Damit ist die Rechenvorschrift zur Ermittlung der Standardabweichung $s_{\rm z}$ aus den Standardabweichungen $s_{\rm x_1}$ und $s_{\rm x_2}$ gefunden. Die Beziehung (23) zeigt, wie sich Fehler in den Beobachtungsgrößen $x_1$ und $x_2$ auf die Unsicherheit der gesuchten Größe $z$ auswirken. Dieses Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Standardabweichungen läßt sich sofort auf den Fall erweitern, daß die Größe $z$ von $m$ Beobachtungsgrößen $x_1, x_2, \dots x_{\rm m}$ abhängt,

$$z = f(x_1, x_2, \dots x_{\rm m}).$$ (24)

Aus (22) folgt

$$\bar{z} = f(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \dots \bar{x}_{\rm m})$$ (25)

und aus (23)

$$s_{\rm z}^{2} = s_{\rm x_1}^2 \ f_{\rm x_1}^2 (\bar{x}_1, \... ..._{\rm m}}^2 \ (\bar{x}_1, \bar{x}_2, \dots \bar{x}_{\rm m}).$$ (26)

Aus (23) bzw. (26) läßt sich abschätzen, welcher Summand (welche Beobachtungsgröße) den Hauptbeitrag zum Gesamtfehler leistet. Man muß versuchen, die Unsicherheit speziell dieser Beobachtungsgröße - etwa durch eine erhöhte Anzahl von Beobachtungen - möglichst herabzudrücken.